Цитата из книги
Задача формулируется как описание игры, основанной на американском телешоу «Let’s Make a Deal», и названа в честь ведущего этой передачи. Наиболее распространённая формулировка этой задачи, опубликованная в 1990 году в журнале Parade Magazine, звучит следующим образом:
« Представьте, что вы стали участником игры, в которой вам нужно выбрать одну из трёх дверей. За одной из дверей находится автомобиль, за двумя другими дверями — козы. Вы выбираете одну из дверей, например, номер 1, после этого ведущий, который знает, где находится автомобиль, а где — козы, открывает одну из оставшихся дверей, например, номер 3, за которой находится коза. После этого он спрашивает вас, не желаете ли вы изменить свой выбор и выбрать дверь номер 2. Увеличатся ли ваши шансы выиграть автомобиль, если вы примете предложение ведущего и измените свой выбор? » После публикации немедленно выяснилось, что задача сформулирована некорректно: не все условия оговорены. Например, ведущий может придерживаться стратегии «адский Монти»: предлагать сменить выбор тогда и только тогда, когда игрок первым ходом выбрал автомобиль. Очевидно, что смена первоначального выбора будет вести в такой ситуации к гарантированному проигрышу (см ниже).
Наиболее популярной является задача с дополнительным условием № 6 из таблицы — участнику игры заранее известны следующие правила:
автомобиль равновероятно размещён за любой из 3 дверей; ведущий в любом случае обязан открыть дверь с козой (но не ту, которую выбрал игрок) и предложить игроку изменить выбор; если у ведущего есть выбор, какую из двух дверей открыть, он выбирает любую из них с одинаковой вероятностью. В нижеследующем тексте обсуждается задача Монти Холла именно в этой формулировке.
Разбор Дверь 1 Дверь 2 Дверь 3 Результат, если менять выбор Результат, если не менять выбор Авто Коза Коза Коза Авто Коза Авто Коза Авто Коза Коза Коза Авто Авто Коза При решении этой задачи обычно рассуждают примерно так: ведущий всегда в итоге убирает одну проигрышную дверь, и тогда вероятности появления автомобиля за двумя не открытыми становятся равны ½, вне зависимости от первоначального выбора. Но это неверно.
Вся суть в том, что своим первоначальным выбором участник делит двери: выбранная A и две другие — B и C. Вероятность того, что автомобиль находится за выбранной дверью P(A)= ⅓, того, что за другими P(B)+P(C)= 2⁄3.
Для каждой из оставшихся дверей вероятность выигрыша в сложившейся ситуации вычисляется так:
P(B) = 2/3x1/3=1/3 P(C) = 2/3x1/3=1/3 Где ½ — условная вероятность нахождения автомобиля именно за данной дверью при условии, что автомобиль не за дверью, выбранной игроком.
Ведущий, открывая одну из оставшихся дверей, всегда проигрышную, сообщает тем самым игроку ровно 1 бит информации и меняет условные вероятности для B и C соответственно на «1» и «0».
После этого действия выражения принимают вид:
P(B) = 2/3x1=2/3 P(C) = 2/3x0=0
Таким образом, участнику следует изменить свой первоначальный выбор — в этом случае вероятность его выигрыша будет равна 2⁄3.
|